NIPS2012のランダム行列のチュートリアルからの抜粋。
$\mathbf{W}_{d}$を$d$次元対称行列で対角要素は$0$、非対角要素は標準正規分布に従う独立な確率変数とする。 すなわち、
$\lambda_{d}$を$\mathbf{W}_{d}$の最大固有値とすると、$\lambda_{d}/\sqrt{d}$は$d\to \infty$でalmost surelyに2に収束する。
参考にしているチュートリアルでの比較的簡単な証明で得られる結果（参考資料の定理4.1.1）では、 ここまでtightなバウンドを示すことができない（$\log d$のfactorがかかる）。 これ自体の証明は結構大変らしいが、できれば何か直感的な理解ができるような説明があるとうれしい。
また、ここで$\mathbf{W}_{d}$の事をWigner行列と呼んでいるが、Wigner行列自体はもっと広いクラスの行列を指す言葉の様子。 統計物理の文脈でよく出るようで、関連するチュートリアルや講義資料が多く見つかった。
（追記）
しばらく前にここまで原稿を書いた後によくよく考えたら、これはWigner’s Semicircle Lawからすぐに示せることに気づいた。 実際、以下のTodd Kemp氏のレクチャーノートで、Lemma 6.1としてこの事実をSemicircle Lawから示している。 NIPS2012のチュートリアルにあった「難しい定理」というのはSemicircle Lawの事だったのかな。
ついでに上に挙げたWigner行列のもっと広義の定義というのは、Kemp氏のチュートリアルによると、各エントリが独立かつ2乗の期待値が有限。さらに対角成分はi.i.d.の分布、非対角成分も（対角成分とは異なるかもしれない）i.i.d.の分布というものを言う（従って、スカラーの確率変数としては対角成分と非対角成分の2種類しかなく、2乗の期待値もその2種類での有限性だけ言えば十分）。 また、Wigner行列を$d^{-1/2}$（$d$は行列のサイズ）でスケール変換したものもWigner行列と言うらしい。
出典
Tropp氏のチュートリアルの35ページ、4.4.1章
参考文献
Joel A. Tropp氏のNIPS2012のチュートリアル
Alice Guionnet氏のレクチャーノート
Todd Kemp氏のレクチャーノート