読書帳

測度のVague収束

測度の収束の種類としてVague Convergenceというものがあることを知る。

定義自体は弱収束とよく似ている。 $\mathbb{R}$上の測度の列$(\mu_{n})_{n=0, \ldots}$が$\mu$にVague収束するとは、任意の$f\in \mathcal{C}_{\infty}(\mathbb{R})$に対して、 $\int_{\mathbb{R}} f(x) \mathrm{d}{\mu_{n}}(x)$が$\int_{\mathbb{R}} f(x) \mathrm{d}{\mu}(x)$に収束することをいう。 ここで、$\mathcal{C}_{\infty}(\mathbb{R})$は、$\mathbb{R}$上の連続関数$f$で、$f(x) \to 0$ (as $x \to \pm \infty$)となるものを言う （下記の参考文献では$\mathcal{C}_{0}(\mathbb{R})$と書いているけれど、自分はこの記号はコンパクト台に使うことが多い気がしたので表記を変えてみた）。

上記の定義は$\mathbb{R}$上であったが、Vague収束の概念はより一般的にLocally Compact Hausdorffな位相空間でも良いらしい。

上の定義で、$\mathcal{C}_{\infty}(\mathbb{R})$を連続関数全体の集合$\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R})$に変更すると弱収束の定義になる。 $\mathcal{C}_{\infty}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R})$なので、弱収束すればVague収束するが、その逆は成立しない。 例えば参考文献の例を挙げると、$\mu$を台がコンパクトで全空間での積分が有限な測度として、$\mu_{n}(x) = \mu(x-n)$と定義すると、$(\mu_{n})_{n=0, \ldots}$は0にVague収束するが弱収束はしない。 従って、Vague収束は弱収束より真に弱い条件となっている。

しかし、測度が確率測度であるときはVague収束の収束先に追加で条件をつければ弱収束が言える。 具体的には参考文献のFact2にある通り、確率測度列がVague収束し、さらに収束先も確率測度である時、この収束列はVague収束先に弱収束している。

出典

RANDOM MATRIX THEORYの12ページ3.1章

参考文献